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文檔簡介
1、§4.3 變步長求積公式,,,復化求積方法對提高精度是行之有效的,但是使用復化求積公式之前必須給出合適的步長,步長取得太大精度難以保證,步長太小則會導致計算量的增加,而事先給出一個恰當?shù)牟接滞抢щy的。實際計算時通常采用變步長的求積方案,即在步長逐次折半(或稱步長二分)的過程中,反復利用復化的求積公式進行計算,直到二分前后的兩次積分近似值相當符合為止。,,,變步長求積公式,,,,,一、變步長的梯形法則,,,探討梯形法則的
2、變步長法則計算規(guī)律:設將求積區(qū)間(a,b)分成n等分,則一共有n+1個分點,按梯形公式(5)計算積分Tn(對f調(diào)用n+1次)。如果將各求積區(qū)間再二分一次,則分點增至2n+1個,若仍直接用梯形公式計算二分后的積分值T2n,將需要對f調(diào)用2n+1次。,,,一、變步長的梯形法則,,,,,一、變步長的梯形法則,,,注意到T2n的全部分點當中,有一半n+1個是二分前的原有分點,重復計算這些“老分點”上的函數(shù)值顯然是個浪費。,,,變步長的梯形法
3、則,,,為了避免浪費,將二分前后的兩個積分值聯(lián)系起來加以考察。注意到每個子區(qū)間(xk-1, xk),經(jīng)過二分再增加一個新分點xk-1/2后,用復化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為因此有整理得:,,,變步長的梯形法則,,,再利用(5)式,得:這個式子的前一項Tn是二分前的積分值,在求T2n時可作為已知值使用,而它的后一項只涉及二分時新增加的分點xk-1/2,所要調(diào)用f的次數(shù)為n??梢娺f推公式(9)由于避免了老結點的重復計算,
4、而使計算量節(jié)約了一半。,,,變步長梯形法則的計算流程,,,,,變步長梯形法則的程序框圖,,變步長梯形法則的算法框圖:其中T1和T2分別代表二分前后的積分值。各框的含義是:[框1] 準備初值。[框2] 按遞推公式(9)求二分后的積分值。從第一個分點x=a+h/2出發(fā),取h為步長逐步向右跨,即可依次確定公式(9)中的各個分點。圖中將所得到的分點暫存于單元x中。[框3] 控制精度。[框4] 修改步長。,,,變步長梯形法則舉例
5、,,,[例4-3-1] 用變步長的梯形法則計算積分值,,,[解] 先對整個區(qū)間(0,1)使用梯形公式。計算函數(shù)在端點的值f(0)=1, f(1)=0.8414710 則T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355將區(qū)間二等分,求中點的函數(shù)值f(1/2)=0.9588511,[例4-3-1],,按遞推公式(9),得T2=T1/2+f(1/2)/2=0.9397933進一步二分求積區(qū)間,并計算新的分點
6、上的函數(shù)f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517再利用(9)式,得這樣不斷二分下去,計算結果列于表下表中。,[例4-3-1],積分I*的實際值是0.9460831用變步長梯形法則二分10次得到了這個結果。,復化梯形公式和變步長法的比較,復化梯形法 變步長法,計算T1時, b-a=1-0=1
7、 b-a=1-0=1T1=[f(0)+f(1)]/2=0.9207355,計算T2時, h=(b-a)/2=1/2 h=b-a=1 新增節(jié)點 f (1/2)=0.9588511 T2=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)] T2=T1/
8、2+f(1/2)/2=0.9397933 =T1/2+f(1/2)/2=0.9397933,復化梯形公式和變步長法的比較,復化梯形法 變步長法,計算T4時, h=(b-a)/2/2=1/4 h=(b-a)/2=1/2 新增節(jié)點f(1/2)=0.9588511
9、 f(1/4)=0.9896158 f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 f(3/4)=0.9088517T4=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) +2f(3/4)]
10、 T4=T2/2+h/2×[f(1/4)+f(3/4)],復化梯形公式和變步長法的比較,復化梯形法 變步長法,計算T8時,h=(b-a)/2/2/2=1/8 h=(b-a)/2/2=1/4 新增節(jié)點f(1/2)=0.9588511
11、 f(1/8) f(1/4)=0.9896158 f(3/4)=0.9088517 f(3/8) f(1/8) f(3/8) f(5/4) f(7/8) f(5/8) f(7/8)T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) +2f(1/8)+2f(3/8)+
12、2f(5/8)+2f(7/8)] T8=h/2×[f(1)+f(0)+2f(1/2)+2f(1/4) T8=T4/2+h/2×[f(1/8) +2f(3/4)] +f(3/8)+f(5/8)+f(7/8)],二、變步長Simpson求積公式,變步長Simp
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