多值邏輯理論的若干問題研究.pdf

1、多值邏輯思想最早可追溯到亞里士多德那里。亞氏對關于未來偶然事件的命題進行了討論，指出傳統(tǒng)邏輯難以處理這類命題，這種觀點為多值邏輯的產(chǎn)生提供了啟示。但是亞氏沒有建立多值邏輯，真正意義上的多值邏輯產(chǎn)生于上世紀20年代，是從Lukasiewicz和Post的工作開始的。繼他們之后，不同的多值邏輯系統(tǒng)相繼出現(xiàn)，參與研究者越來越多，幾十年的時間里多值邏輯迅速成為現(xiàn)代邏輯的一個分支，還一度成為研究的熱點。人們之所以熱衷于多值邏輯的研究，是因為經(jīng)典邏

2、輯在其發(fā)展中顯示出很大局限性，發(fā)展多值邏輯有可能解決這些局限性。多值邏輯的研究最初從哲學的思考出發(fā)，繼而是用數(shù)學的形式化方法去研究的。用形式化方法研究又可以分為不同的角度，總體上看分為三個方面：函數(shù)完備性問題，邏輯系統(tǒng)構建問題和代數(shù)模型問題。對多值邏輯的研究還有一個重要方面是它的應用研究，該文只從純理論方面去進行探討。 論文分為三章，分別是：多值邏輯的函數(shù)完備性問題，多值邏輯公理化和多值邏輯的代數(shù)與語義解釋。對函數(shù)完備性問題的研

3、究是從Post開始的，Post最先建立了函數(shù)完備的多值邏輯，并對簡單的多值邏輯的函數(shù)完備性進行了研究。從Post的成果可以看到，多值邏輯應該有與經(jīng)典邏輯相似的性質，函數(shù)完備性問題自然是應該解決的。1935年，Webb通過對經(jīng)典命題邏輯的sheffer函數(shù)進行擴充，得到了一個n-值邏輯sheffer函數(shù)。這一成果更激發(fā)人們對函數(shù)完備性問題研究的興趣。具有函數(shù)完備性的n-值邏輯應是什么樣的，很多人都想給出明確的刻畫，然而這是個非常困難的問題

4、。從上世紀四十年代開始，很多學者投入到這一研究領域。60年代，我國在這一領域的研究曾領先于世界，王湘浩教授及其學生羅鑄楷用保關系的思想對函數(shù)完備性進行了刻畫，取得了很好的結果。在這一領域取得決定性結果的是加拿大學者I.G.Rosenberg，他于1970年發(fā)表了對函數(shù)完備集的刻畫，這是個相當復雜的刻畫，但這一結果的發(fā)表并沒有結束該領域的研究，在此基礎上至今還有不少人繼續(xù)研究。該論文對這一領域的主要結果給以總結，并利用這一理論對較簡單的多

5、值邏輯的函數(shù)完備集和準完備集進行具體的分析。另外對曾經(jīng)出現(xiàn)的sheffer函數(shù)給以總結回顧，并構建了與原有的不同的一個sheffer函數(shù)。 在第二章中，該論文回顧總結了多值邏輯的所有的系統(tǒng)構建方法。最簡潔的邏輯系統(tǒng)應該是由幾條公理(模式)，加上幾條推理規(guī)則組成的系統(tǒng)，通常也稱為Hilbert型公理系統(tǒng)。在多值邏輯中，也出現(xiàn)不少這樣的系統(tǒng)，如，1931年，Wajsberg對Lukasiewicz三值邏輯給出了這樣的公理系統(tǒng)。有沒有

6、一個一般的方法，對所有的多值邏輯給出一個Hilbert型公理化方案，這是個自然被提出的問題，但是也是個重要而困難的問題。19451951年，J.B.Rosser和A.R.Turquette在這方面作出了開拓性的貢獻，給出了一類邏輯的公理化方案。二人的研究是針對Lukasiewicz有窮值邏輯的，但也為其他類型的邏輯提供了值得借鑒的方法。關于無窮值邏輯，1958年A.Rose和J.B.Rosser對Lukasiewicz無窮值邏輯完全性給

7、出了代數(shù)證明，1959年，C.C.Chang用另一種代數(shù)方法給出了證明。這些公理化方法都是具有重要的意義，但是都不可能適應于各種各樣的多值邏輯。能夠適應于各種各樣多值邏輯的公理化方法是類似經(jīng)典邏輯的Gentzen型公理化方法，也稱表列方法，這種方法是根據(jù)聯(lián)結詞的性質建立真值樹，其實是把聯(lián)結詞看成函數(shù)計算出所要求的定理。上世紀七八十年代，StanislawJ.Surma和WalterA.Carnielli給出了這樣的方法。再一種公理化形式

8、是建立自然推理系統(tǒng)，多值邏輯與經(jīng)典邏輯一樣有也有這樣的系統(tǒng)，根據(jù)Hilbert型公理化方案已有人為Lukasiewicz邏輯建立了這樣的系統(tǒng)。進入90年代，對多值邏輯的公理化方法的研究較少了，這主要有兩個原因。一方面公理化方法已經(jīng)有了經(jīng)典性的成果，在此基礎上人們的注意力集中于把已有成果應用于模糊邏輯中，多值邏輯的研究和模糊邏輯的研究變得不可分割。另一方面，在原有成果的基礎上人們致力于構建更抽象的邏輯，對多值邏輯的研究融入到對抽象邏輯的研

9、究之中了。在這章中，構建了一個邏輯系統(tǒng)。不久前，鞠實兒教授提出了開放世界邏輯的思想，并建立了邏輯系統(tǒng)，在此基礎上，該文對鞠實兒教授提出的開放世界邏輯給以推廣，把它推廣到任意m值邏輯的情形，建立了系統(tǒng)，并證明了系統(tǒng)的元邏輯性質。 在第三章中，對多值邏輯的代數(shù)模型和直觀語義的研究狀況給以簡單回顧，介紹了幾種主要的多值邏輯代數(shù)，并對它們之間的聯(lián)系給以簡單的探討。每一種多值邏輯往往對應于一種多值代數(shù)。較為著名的多值代數(shù)有：1940年出現(xiàn)

10、的Lukasiewicz-Moisil代數(shù)，1942年Rosenbloom提出的Post代數(shù)，1958年C.C.Chang提出的MV-代數(shù)，等等?，F(xiàn)在，這些代數(shù)都發(fā)展成了豐富的理論，該文對這些理論給以簡單介紹，初步探討了幾種代數(shù)之間的關系。針對鞠實兒教授提出的開放世界邏輯，該文構建了一種新的代數(shù)SLO-代數(shù)，并探討了其簡單性質。論文還對已往所出現(xiàn)的多值邏輯的直觀語義解釋給以整理回顧，對多值邏輯的語義解釋困難提出自己的看法，對多值邏輯的合